La Trigonométrie


Trigonométrie


Rien d’alarmant, juste le rappel de quelques notions … Et puis après ce sera fini pour les maths …

Pourquoi et pour quel usage ?

Quand vous aborderez l’étude du courant alternatif, vous aurez besoin de quelques notions très simples de trigonométrie. Il n’est pas question de faire des calculs complexes avec des tonnes de Sin et Cos qui se baladent partout mais de bien se représenter mentalement ce que peuvent être ces fameux vecteurs tournants. D’autre part, nous aurons besoin de ce bon vieux théorème de Pythagore pour l’étude de certains circuits. Allons-y, nous sommes dans la dernière ligne droite.

Les fonctions trigonométriques :

Définition de circonstance et pas du tout mathématique :
Ce sont des fonctions qui affectent à un angle une valeur numérique déterminée. Nous en utiliserons deux célèbres, a savoir la fonction Sinus et Cosinus.

Expérience :

Prenez la calculatrice Windows (Démarrer – Programmes – Accesoires – Calculatrice).
Tapez  0 puis cliquez sur le bouton SIN, l’afficheur indique : 0
Tapez 30 puis cliquez sur le bouton SIN, l’afficheur indique : 0,5
Tapez 90 puis cliquez sur le bouton SIN, l’afficheur indique : 1

Vous voyez c’est simple quand même. La valeur minimum pour cette fonction est 0 et la valeur max est 1. Il serait intéressant de voir ce qui se passe quand on dépasse 90°. Testons :

Tapez 135 puis cliquez sur le bouton SIN, l’afficheur indique : 0,707
Tapez 180 puis cliquez sur le bouton SIN, l’afficheur indique : 0

Tapez 235 puis cliquez sur le bouton SIN, l’afficheur indique : -0,81
Tapez 270 puis cliquez sur le bouton SIN, l’afficheur indique :  – 1
Tapez 330 puis cliquez sur le bouton SIN, l’afficheur indique : -0,5
Tapez 355 puis cliquez sur le bouton SIN, l’afficheur indique : -0,087

On a bien le sentiment que nous avons affaire à quelque chose de cyclique, quelque chose qui se répète dans le temps, et ce n’est pas qu’une impression… Voici les fonctions sinus et cosinus en image. Vous noterez qu’il existe un décalage (on appellera cela un déphasage en électricité) entre ces deux fonctions.

Comment déterminer sans calculatrice le sinus ou cosinus d’un angle ?

Rien n’est plus facile dans la mesure où l’on se souvient du schéma suivant. L’axe des cosinus est horizontal, l’axe des sinus est vertical. Passons à l’étape suivante.

 

Nous cherchons à déterminer le sinus et le cosinus de 60°. Le cercle est gradué de 0 à 360°, pour les besoins du dessin, je me suis limité à 90°. Vous remarquerez que dans le sens trigonométrique, on tourne dans le sens contraire  à celui des aiguilles d’une montre. Nous portons notre angle de 60° à l’endroit idoine et nous projetons ce point sur les deux axes. Il ne nous reste plus qu’à mesurer la longueur du segment qui par du centre du cercle et intercepte la projection de notre point. On doit trouver 0,5 pour le cosinus et 0,86 pour le sinus. C’est tout.

Une autre propriété très intéressante :

Dans un triangle rectangle (possède un angle droit de 90°), si nous connaissons la valeur d’un angle et la longueur d’au moins un des côtés, nous pouvons facilement déterminer soit la mesure d’un angle soit la longueur des côtés.
L’hypoténuse est définie comme le côté opposé à l’angle droit, c’est intangible, invariable, mémorisez bien cela. En revanche le côté opposé et le côté adjacent peuvent changer en fonction de l’angle choisi. Voila comment s’y retrouver.
Le côté opposé est le côté qui se trouve en face de l’angle choisi, le côté adjacent sera le coté qui touche l’angle.


J’imagine que quelques exemples seraient les bienvenus non ?

Vous notez qu’en fonction de l’angle choisi les côtés opposés et adjacents n’occupent pas la même position. Bon passons aux choses intéressantes maintenant :


Voici les formules clefs qu’il faut retenir elles vous permettront de résoudre la majeure partie des problèmes. Examinons cela avec un exemple.

Voici le problème ! L’hypoténuse mesure 10 cm, l’angle fait 30°, on demande de calculer les longueurs des côtés A et B.


  • Eh bien ce n’est pas si compliqué que cela contrairement aux apparences, il suffit seulement de faire un peu de gymnastique mentale. Nous savons que le sinus vaut le côté opposé/Hypoténuse. Nous pouvons poser :

    Sin 30 = B/H  (sinus 30° = côté opposé/hypoténuse)
    donc sin30xH = B
    sin30 vaut 0,5, un coup de calculatrice vous le dit

    On peut écrire :  0,5 x  10 = B = 5cm ***** Voilà c’est gagné pour le côté B.

  • Nous pouvons maintenant déterminer la valeur de l’ angle b sachant que le cosinus d’un angle vaut le côté adjacent/ hypoténuse.

    Nous posons :
    Cos
    b = B/H
    Cos
    b = 5/10
    Cos
    b = 0,5
    Il ne nous reste plus qu’à chercher sur notre calculette quel est l’angle qui correspond à un COS de 0,5. Réponse 60°. (il faut faire INV COS)

  • Maintenant nous appliquons tout bêtement :
    Sin60 = Côté opposé/hypoténuse
    Sin60 = A/H
    Sin60 x H = A
    0,866 x 10 = 8,66 cm

    Voilà c’est fini !

Et pour finir, le théorème de Pythagore :

Ce n’est qu’à peine différend de ce que nous venons de voir ci-dessus. Ce théorème vous aidera, entre autres, à tailler à la bonne longueur vos haubans. Le voici :

Le théorème de Pythagore nous dit que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. En d’autres termes, si le triangle ABC est rectangle en A, alors BC2 = AB2 + AC2
Bien évidemment, pour obtenir la longueur du segment BC, il faudra prendre la racine de (AB2 + AC2), mais cela maintenant vous le savez.

C’est fini… Vous êtes armé pour aborder sereinement l’électricité. Bonne poursuite de votre lecture.

 

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