Les Equations

Les équations ou comment transformer les formules

Dans un certain nombre de mails reçus, quelques personnes m’ont dit éprouver des difficultés à transformer les formules. 

Beaucoup d’entre vous vont trouver ce qui suit extraordinairement simpliste, si tel est le cas, passez aux chapitres suivants, vous n’avez pas besoin de vous attarder ici. Pour les quelques OM qui m’ont écrit et qui n’ont pas eu le bonheur d’user longtemps leur fond de culotte sur les bancs de l’école, ces pages sont faites pour vous.

Les équations :

Il y a en effet de quoi frémir… Car mes amis les équations, vous savez les résoudre, et depuis longtemps, la seule chose que vous ignoriez, c’était leur nom. Pourquoi n’arrivez-vous pas à extraire L de la formule suivante :

Alors qu’en quelques centièmes de seconde, si je vous dis :

3 pommes = 18 Francs                       (je sais, je sais, on est passé à l’euro)

vous trouvez la réponse facilement ? Et pourtant, il s’agit de la même chose, du même type de calcul, de la même démarche. Je vous propose d’essayer d’y voir plus clair en appliquant quelques bonnes vieilles recettes de cuisine. (parlant de pommes, c’est tout indiqué et une pomme vaut 6 francs, ce qui n’est pas donné soit dit en passant)

Au début était le commencement :

Il faut bien commencer par quelque chose, n’est-il pas et pour nous entraîner, nous allons prendre cette bonne vieille loi d’Ohm (si vous lisez ces pages c’est que vous souhaitez devenir radioamateur ou que vous vous intéressez à l’électricité). La loi d’Ohm s’écrit comme suit :

U représente la tension exprimée en volt, R la résistance exprimée en Ohm et I le courant dans le circuit exprimé en ampère.


La problématique :

(quelques mots savants pour faire sérieux)

L’énoncé du problème nous indique que nous connaissons U et I, que conséquemment nous ignorons la valeur de la résistance R et que justement c’est cette valeur que nous devons déterminer. Pour faire vrai nous allons dire que U = 10V, que I = 5A.

Comment allons nous faire pour transformer cette formule et nous retrouver avec quelque chose du genre: R = 


La solution :

Posons la formule que nous connaissons :

U = R I

Nous sommes face à une égalité qui nous enseigne que la valeur U est égale au produit de R par I soit (typiquement dans le cas ou 18 = 3 pommes soit dit en passant).

Pour 18 = 3 pommes, naturellement vous comprenez que pour avoir le prix d’une pomme, il faut diviser le prix total par le nombre de pommes ! Eh bien ici c’est la même chose, pour tirer R de la formule U=RI, il faut diviser U par I. Voyons cela en images :

Donc la technique consiste à se retrouver avec une égalité (des trucs à gauche et à droite d’un signe =) dans laquelle le terme que l’on cherche (R ici) se retrouve seul. Dans notre exemple, nous avions un produit RI, nous avons fait basculer un terme du produit (le I) sous le U. On appellera ceci une transposition.


Un facteur multiplicateur devient diviseur lors d’une transposition
Un facteur diviseur devient  multiplicateur lors d’une transposition

 

D’autres exemples pour comprendre :

Bon, imaginons maintenant que la formule de la loi d’Ohm nous soit donnée sous la forme :

On cherche toujours à déterminer R, il va falloir effectuer quelques transpositions. Rien de plus simple. Peut-être vous souvenez-vous que lors de l’étude des fractions, nous avions parlé du produit en croix ? Le produit en croix permettait de vérifier l’égalité de deux fractions, cette propriété va nous être utile pour effectuer les transpositions de notre formule.

Nous pouvons poser ceci :

Vous en conviendrez, cela ne change pas grand chose au problème car n’importe quoi divisé par 1 fait toujours n’importe quoi. Ce qui importe maintenant c’est que notre égalité est maintenue et que nous pouvons faire un produit en croix. Voici comment procéder :

donc nous multiplions en croix le numérateur d’une fraction par le dénominateur de l’autre ce qui nous donne :

Bingo, nous voici revenu à la formule initiale. Il ne reste plus qu’à faire passer I sous U pour avoir R. Bien évidemment, quand vous aurez un peu de métier, vous ne passerez plus par l’étape qui consiste à mettre 1 au dénominateur, votre cerveau effectuera mentalement le produit en croix.


Et si nous traitions l’exemple du début ?

Quel était le problème ? Ah oui extraire L de la formule suivante :
Il ne faut pas se laisser impressionner, la démarche est la même que précédemment et nous allons voir comment nous affranchir de cette racine. C’est parti

Nous pouvons commencer par faire ce que nous savons faire, à savoir mettre cela sous forme de fractions en rajoutant un 1 sous le f. Cela donne :

 


Maintenant faisons un produit en croix de manière à nous retrouver avec une égalité sans quotient :

(j’ai fait apparaître le 1×1 pour la compréhension)



Nous ne pouvons pas pour le moment isoler le L car il est sous le radical d’une racine mais nous pouvons déjà isoler la racine de LC en faisant passer au dénominateur
2 p f.


Maintenant il serait judicieux de se débarrasser de cette racine, ceci se fait très simplement en  élevant au carré les deux termes de l’égalité. De cette manière le terme racine (LC) va se retrouver au carré, donc le radical va sauter et nous pourrons isoler L. Il vient

Une fois arrivé ici, c’est gagné, vous savez faire, la formule définitive est :

Et quand nous avons affaire à des sommes et des produits ?

Les choses seront un peu différentes car tant que nous avions affaire à des produits ou quotients, nous pouvions faire basculer les termes d’un bord à l’autre en « inversant » le sens de l’opération (un multiplicateur devenait diviseur et réciproquement). Avec des sommes ou soustractions, une certaine logique va être respectée, à savoir qu’une somme va devenir une soustraction et l’inverse bien sûr.

Voyons cela avec un exemple :


Prenons une formule quelconque  U = E – Z

Je cherche à déterminer la valeur de E connaissant U et Z. ici je ne peux pas basculer Z sous U, le résultat serait faux car il ne s’agit pas d’une multiplication mais d’une soustraction. Voici comment opérer:

Nous allons faire passer, en tenant compte du signe, la valeur Z vers U, toujours dans l’esprit de nous retrouver avec une égalité ne contenant plus que le terme recherché d’un côté. Il vient :

 U+Z = E

Prenons un exemple numérique et pour le moment ne vous posez pas de question.
U= 7  Z = 3

7 + 3 = 10 – la valeur de E = 10


Vous devez vous demander pourquoi nous avons changé le signe de Z (c’était -Z d’un côté, c’est devenu +Z de l’autre). Parce que c’est la règle. Quand un terme dans une égalité contenant des additions/soustractions change de côté, il change de signe – A appliquer avec rigueur sous peine d’avoir des surprises…


Et pour finir un exemple couplant une addition et un produit:

Voici la formule : U = E – RI
On cherche la valeur de R
U = 10
E  = 14
I = 2

Nous avons bien un produit RI mais nous ne pouvons pas le basculer directement, il fait partie d’une soustraction. Afin d’éviter de batailler avec les signes, bien que ce ne soit pas le plus simple nous allons procéder comme suit !

Nous allons faire passer RI de l’autre côté de l’égalité, il vient

U + RI = E
(RI a changé de signe en passant de l’autre côté)Maintenant faisons passer U de l’autre côté de l’égalité.

RI = E – U


Maintenant nous avons bien du côté droit de l’égalité un produit pur, nous pouvons faire passer la valeur I au dénominateur :

Application numérique :

R = (14-10)/2    = 4/2 = 2
C’est fini…

Bon nous allons nous arrêter ici, ces exercices et explications sont simplistes, c’est volontaire.
Cette page est destinée à ceux qui débutent ou à ceux qui ont des souvenirs très très lointains de leurs études. 

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