Les Puissances

Les Puissances

Les puissances et la notation scientifique. Comme d’habitude, rien de difficile.

Comment la bête se présente t-elle ?

Voila l’allure générale avec quelques exemples :

on lira et on prononcera en partant de la gauche, comme il se doit !
deux puissance deux ou deux au carré, cinq puissance trois ou cinq au cube, dix puissance 5, a puissance n.


Mais qu’est-ce que cela veut dire ?

Définition : tout nombre affecté d’un exposant (la puissance) est un nombre qui se multiplie par lui même le nombre de fois indiqué par l’exposant

En d’autres termes :

ici nous avons 5 à la puissance 3. Il s’agit donc de multiplier le chiffre 5 trois fois par lui même ce qui donnera 5 x 5 x 5 = 125. Attention à bien respecter la définition et cette logique. 

Le carré et le cube :

Les plus jeunes d’entre vous y jouent encore… Sur le plan mathématique, le carré correspond à l’exposant « 2 » et le cube à l’exposant « 3« . C’est tout.

Quelques définitions à savoir :

an = a x a …n fois Pour mémoire, on vient d’en parler au-dessus
  a0 = 1 Tout nombre non nul à la puissance « 0 » vaut 1, que ce soit 20 ou 4440
  a1 = a Tout nombre à la puissance « 1 » vaut ce nombre.
exemple : 101 = 10     21 = 2     1561 = 156
 an = 1/an C’est important. Exemple  5-3   = 1/ 53
a1 est l’inverse (1/a) de a
Et les signes dans tout cela ?

Observez le tableau ci-dessous :

 (-31) (-32) (-33) (-34) (-35) (-36)
-3 9 -27 81 – 243 729


ce dernier donne une suite de valeurs de -3 élevées aux puissances de 1 à 6. On constate qu’à chaque fois que l’exposant est pair, la valeur est positive et qu’à chaque fois que l’exposant est impair, la valeur est négative. D’une manière plus générale, on pourra dire qu’un nombre ayant un exposant pair sera toujours positif alors que le même nombre ayant un exposant impair conservera son signe.

Passons aux choses sérieuses :

Ce n’est pas la mer à boire, mais il va falloir bien comprendre et surtout retenir ce qui suit. Voici quelques propriétés fondamentales. Ici pas besoin d’être génial, il faut simplement apprendre (et retenir) ce tableau et naturellement appliquer la bonne propriété le moment venu…

  am  x   an =   am+n  exemple : 22 x 24 = 2 (2+4) = 26
exemple :
  (a x b)n = an X bn exemple : (2  x 4)3 = 23 x 43
   (an)m =  a n m exemple  : (52)=  5 2x3  =  56
 (a + b)n = il faut d’abord effectuer la somme puis élever le résultats à la puissance.
exemple  : (2 + 3)2   = 52 = 25

 

Les puissances de 10  (enfin!) :

C’est un truc génial et pas compliqué qui va nous simplifier la vie, car les puissances de 10 permettent de « coder » de très grandes ou au contraire de très petites valeurs très simplement sans avoir à manipuler une chaîne de « 0 ». Voyons comment cela est organisé :

Petite observation expérimentale :

10 1 suivi de 1 zéro 10 x1 101
100 1 suivi de 2 zéros 10 x2 102
1000 1 suivi de 3 zéros 10 x3 103
10 000 1 suivi de 4 zéros 10 x4 104
100 000 1 suivi de 5 zéros 10 x5 105

Les puissances de 10, c’est simple, observez ce tableau, le nombre 10 est composé d’un 1 et d’un 0 (rien de nouveau jusqu’ici), il est également égal à 10×1. En écriture dite « scientifique », nous noterons 101.

Et pour les valeurs inférieurs à 1 allez-vous me demander…

Ce sera sans surprise, observez le tableau ci-dessous:

0,1 101
0,01 102
0,001 103
0,0001 104
0,00001 105

Ce dont il faut se souvenir :

Rubrique trucs et astuces, voici comment effectuer les conversions.

Puissances positives Puissances négatives

 

 

On pose 1 et on le fait suivre de « n » zéros On pose 0 et on le fait suivre de « n » chiffres après la virgule, 1 inclus.

Ecriture ou notation scientifique :

Nous venons de voir comment fonctionnaient les puissances de 10 et surtout leur utilité dès lors qu’il s’agit de manipuler de fortes valeurs numériques (dans un sens comme dans l’autre d’ailleurs).  Si nous pouvions trouver un système qui nous permette de formuler toutes les valeurs possibles et imaginables avec un chiffre, une virgule et une puissance de 10, ce serait bien commode.

Voici comment procéder :Supposons que nous souhaitions écrire en notation scientifique cette valeur : 657.

Nous allons faire en sorte que ce nombre s’écrive comme le produit d’un nombre « x » compris entre 1 et 9, une virgule, la suite de chiffres,  par une puissance de 10 qui pourra être négative ou positive.

Donc pratiquement 657 deviendra en notation scientifique : 6,57 102. Cet exemple n’est peut-être pas parlant , voyons celui-ci : 374 000, en notation scientifique 3,74 105..

En pratique, le mode opératoire : 

Nous devons écrire 1596 en notation scientifique. Il faut :

  • placer une virgule de telle manière à se retrouver avec un seul chiffre devant cette virgule
  • compter le nombre de positions dont a été déplacée cette virgule, ce nombre deviendra l’exposant de la puissance de 10. (ici 3)

Dans l’exemple ci-dessus, nous avons effectué 3 déplacements de la droite vers la gauche. Nous avons simplement divisé par 1000 notre chiffre initial. Pour lui restituer sa valeur originelle, il va falloir le multiplier par 1000 ce qui donnera :

1596 = 1,596 103 .

Idem mais avec un nombre inférieur à 1 :

Nous devons écrire
0,0089 en notation scientifique. Nous appliquons les principes que nous connaissons à savoir déplacer la virgule de manière à avoir un chiffre puis la virgule x 10 et un exposant.


Nous avons déplacé la virgule de 3 positions vers la droite (ce qui revient à multiplier par 1000), nous obtenons 8,9. Il faut multiplier cette valeur par 10-3 ce qui donne en notation scientifique :

8,9 10-3

Quelques transformations :

La règle énoncée ci-dessus veut que l’on pose en notation scientifique tout chiffre sous la forme d’un nombre suivi d’une virgule, de la puissance de 10 et de l’exposant. Parfait. Mais il y arrive que l’on ai besoin de déroger et d’effectuer des conversions par commodité ou tout autre raison. Le principe est simple et vous le connaissez, voyons cela avec quelques exemples :

Nous avons par exemple : 1,235 102 nous pouvons tranquillement transformer ceci en jouant sur la position de la virgule et conséquemment sur l’exposant comme suit :

0,1235 103
1,235 102
12,35 101
123,5 100
1235 10-1

Bon, vous avez compris le principe…

Les opérations avec la notations scientifique :

L’objet, ne l’oublions pas, est de simplifier les calculs et d’éviter de se trimballer une ribambelle de chiffres. Voyons comment nous pouvons traiter les opérations usuelles avec la notation scientifique.

Multiplication  5.102 x 4.103 =  5 x 4 x  102 x103 = 20.102+3 = 20.105
Simple application de la formule du 1er tableau. Cliquer ici pour la revoir

Division 8.102 /  2.10=  4.102-3  = 4.10= 0,4
Remarquez que c’est bcp plus vite calculé qu’en faisant 800/2000 . Cliquer ici pour revoir la formule

Addition 1,52.102 + 5.103 = Ici mieux vaut convertir au « même exposant » si l’on tient à faire quelque chose de cohérent. On peut convertir indifféremment un terme ou l’autre.
1,52.102 + 50.102 = 51.52 102

Soustraction

Le principe est le même que pour l’addition.

Et pour finir :

en fait, il nous reste encore une toute petite notion à aborder sur les puissance mais je préfère reporter cela au chapitre « Racines », vous avez assez travaillé pour aujourd’hui, d’autant qu’il reste les exercices à faire… Bon courage

Exercices pour voir si l’on a bien compris:

Donner la valeur de : Réponse : 
3 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
122= 1
14= 14
6-2   =   1 / 6
– 52 =   25
– 53   =   – 125
– 54   = 625
3x  3 = 32+3  = 3= 243
24 22   =  24-2      = 22        4
(2 x 3)2   =  2x  3 = 4 x 9 = 36
(2 + 3)2   =  52 = 25 (attention à ne pas faire de confusion avec l’exemple précédent)
(22)3     2 2×3   = 2 6   = 64
10 100
10 10000
10 1
10 1 000 000
10-2  0,01
10-6  0,000001
103  0,001
Ecrire sous forme scientifique :
Réponse :
1236  = 1,236 103
0,007  = 7 10-3
135 000  = 1,35 105
-549  = – 5,49 102
0,000 000 78  = 7,8 10-7
Calculer :
Réponse :
5.102 x 4.10= 5 x 4 x 102 x 10= 20 . 102+3  = 20 105
2,3 102 x 2  =  4,6 102  
3 102 x 5 10- 3 x 5 x 102-3 = 15 10-1
1,2 10-19 x 5 1012 1,2 x 5 x 10-19+12  =  6 10-7
 8 104 / 4 102 2 104-2  =  2 102
Long et laborieux ce chapitre… Un peu de détente avant d’attaquer la suite ne nous ferait pas de mal.

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