Les Fractions

Cela ! Ici nous avons pris une tarte que nous avons coupée en 4 parts égales. La première image représente la tarte une fois que la première part ait été mangée, il restait donc à ce moment là 3 quarts de tarte.
Nous avons retiré une nouvelle part, nous voyons bien qu’il ne nous reste plus que la moitié de notre tarte initiale. Nous pouvons aussi écrire qu’il nous reste 2 parts sur 4.
Et pour finir car je commence à saturer, nous avons de nouveau retiré une portion. Il ne reste plus désormais qu’une part sur les quatre initiales, nous écrivons qu’il reste 1 quart (1/4) de tarte!

Eh bien c’est cela une fraction, rien de plus, rien de moins. Il s’agit toujours d’une valeur qui est posée sous la forme d’un rapport, d’un quotient. La partie supérieure est appelée NUMERATEUR, la partie inférieure DENOMINATEUR

Mais encore …

La première des opérations que l’on peut effectuer sur une fraction consiste à calculer sa valeur. Ce n’est pas indispensable mais cela éclaire. Pour des raisons de simplicité d’écriture en HTML, nous noterons les fractions comme suit :

1/4 (lire un quart), ou 1/3 (lire un tiers) ou bien encore 1/2 (lire un demi mais cela vous le savez depuis que vous fréquentez l’estaminet du coin de la rue).

Donc, pour calculer la valeur d’une fraction, il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur. (suite à une remarque d’une lectrice, je précise que les valeurs ont été réduites à deux ou trois décimales pour les besoins de la démonstration.)

Voici un tableau contenant quelques valeurs, comme vous pourrez le constater, un demi fait bien 0,5 (litre), ne vous laissez plus avoir au troquet quand on vous sert 0,33 l !!! Vous pouvez de la sorte calculer toutes les fractions que vous voulez.

Prenons le cas du 8, si nous voulons l’écrire sous forme fractionnaire, nous écrirons :8 = 8/1
et effectivement 8 divisé par 1 fait bien 8 ….
Ne riez pas, cela vous sera utile plus tard.

Nous allons pouvoir faire toutes les opérations classiques (+ – / *) sur les fractions, seulement il y aura quelques subtilités plus particulièrement pour l’addition et la soustraction. Avant d’en arriver là, il faut connaître quelques propriétés amusantes des fractions, ne vous laissez pas dérouter car ce sont des choses que vous savez déjà (parfois de manière intuitive) et que vous pourrez retrouver facilement, tout seul, sur le papier.

Les fractions sont des entités sexuées:

Cela mes amis, vous ne l’avez jamais lu dans aucun livre. Je m’explique. Nous savons qu’une fraction n’est qu’un nombre (et des nombres il y en a une infinité). Les nombres, vous le savez depuis les paragraphes précédents, peuvent être positifs ou négatifs, nous pouvons donc dire que les fractions peuvent aussi être positives ou négatives, n’est-il pas ?

  Nous retiendrons deux choses importantes :

En français dans le texte, si l’un des termes d’une fraction est négatif, la fraction est négative. Si les deux termes d’une fraction sont négatifs, la fraction est positive. C’est facile à retenir si vous avez lu le premier chapitre consacré aux nombre.
 

Le produit en croix :

On disait comme cela dans mon temps, cela a peut-être changé. Regardons un peu ces fractions :

25/5   et 15/3 
A priori, rien de remarquable si ce n’est qu’en divisant 25 par 5, on trouve 5 et si l’on fait la même chose avec l’autre (15/3), nous allons également trouver 5. Damned ! De là à penser que ces deux fractions si dissemblables sont égales… Eh bien, oui, elles sont égales nos deux fractions. Nous aurions pu le découvrir sans faire ce calcul de la manière suivante :

En multipliant 25 par 3, nous trouvons 75. En multipliant 15 par 5, nous trouvons également 75. Nous venons de faire un produit (multiplication) en croix comme indiqué sur le schéma ci-contre. Les deux produits étant identiques, on en conclut  que les fractions sont égales. Vous devez seulement retenir ce qui se trouve dans le pavé encadré. Vous retrouverez cette relation quand vous étudierez la théorie de l’équilibre des ponts.

Règle : Pour multiplier un quotient par un entier, il faut multiplier le numérateur seulement par l’entier.
Si vous avez un doute, rappelez-vous qu’un nombre quelconque peut s’écrire comme une fraction ayant la valeur 1 au dénominateur, ensuite appliquez la règle de multiplication classique.

La division de deux quotients:

Avant d’attaquer la division (et ne soyez pas inquiet, c’est simple), il est peut-être nécessaire de revenir sur la notion d’inverse. Nous avions déjà parlé de l’opposé ( -3 et l’opposé de 3 et réciproquement), l’inverse de « x » est toujours de la forme 1/x. Donc l’inverse de 4 est 1/4 soit 0,25. D’une manière générale, quand on parle d’inverse de quelque chose, il suffit de diviser 1 par ce quelque chose pour l’obtenir.

Règle :  Le quotient de a/b par c/d est le produit de a/b par l’inverse  de c/d, l’inverse de c/d étant d/c.

Notez bien la permutation qui a été effectuée pour obtenir l’inverse.

Rien de plus facile, ceci nous ramène aux règles que nous avons étudiées.
Bien évidemment, on procédera de la même manière s’il s’agit de diviser un entier par un quotient, la démarche est la même.

L’addition ou la soustraction de deux quotients:

Bon, nous y voici, j’ai placé cette étude en fin de manière à travailler avec un cerveau rodé et bien huilé.

Règle :  Pour additionner ou soustraire des quotients, il faut que leurs dénominateurs soient égaux. Si tel n’est pas le cas, il faudra préalablement effectuer l’opération appelée « réduction au même dénominateur ». Quand cette opération sera réalisée, il suffira d’ajouter ou retrancher entre-eux les numérateurs seulement.

Et en clair cela signifie quoi ?

Prenons un cas concret, je souhaite effectuer cette opération, immédiatement je constate que les dénominateurs ne sont pas égaux (2 est bien différent de 4). Selon la règle énoncée ci-dessus  je dois obligatoirement transformer ces deux quotients de manière à ce qu’ils aient le même dénominateur. Une fois ceci réalisé je pourrai tranquillement additionner les numérateurs.
Pour réduire au même dénominateur, nous allons appliquer une technique bestiale qui, si elle manque de  subtilité, vous met à l’abri de tout souci. Nous allons procéder comme suit :Nous allons multiplier chaque quotient (en haut et en bas) par le dénominateur de l’autre quotient. Vous vous souvenez que multiplier en haut et en bas un quotient par une même valeur ne change pas ce dernier. Nous allons donc nous retrouver avec un dénominateur commun. Le tour est joué… Il suffit ensuite d’additionner (ou soustraire) les numérateurs puis d’opérer d’éventuelles simplifications. Dans notre exemple, on peut aller plus loin car 26/8 = 13/4. Toujours à partir de cet exemple et avec un peu de métier, vous vous apercevrez qu’il suffit de multiplier le premier quotient par 2 pour tomber sur un dénominateur identique. Voilà, ce n’est pas plus compliqué que cela…