Règles opérations


Règles sur les opérations  


Dans ce chapitre, nous examinerons, opération par opération, les règles applicables.

Dans la vie, il y des trucs que l’on peut faire et d’autres que les règles de la société nous interdisent. Ces règles n’ont pas été créées pour le seul plaisir de vous ennuyer mais pour permettre une cohabitation harmonieuse entre les individus. Le monde des mathématiques obéit sensiblement aux mêmes lois d’organisation, il y a des règles à observer et il convient naturellement de les connaître…

Addition Ce que l’on peut faire


15+3+2 
2+15+3 


Dans une addition on peut intervertir les termes sans que change le résultat.
Cela s’appelle la commutativité


15+3+2+17+8  =  15+3+2+(17+8)


On peut regrouper les termes d’une somme sans modifier le résultat.
Cela s’appelle l’associativité 
Soustraction Ce que l’on ne peut pas faire

15 – 3 = 12     est différent de   3 – 15 = -12


Contrairement à l’addition, on ne peut pas intervertir les termes d’une soustraction.

 15 -3 – 2-17-8  = -15   est différent de
15-3-2 – (17-8) = 1


On ne  peut pas regrouper les termes d’une soustraction sans modifier le résultat
Multiplication Ce que l’on peut faire

15x3x2 = 90  est identique à 3x15x2 = 90


La valeur du produit reste identique si l’on change l’ordre des termes 

 15x3x2 = 90  est identique à 15x(3×2) =90


On peut regrouper les termes d’un produit sans modifier le résultat
Division Ce que l’on ne peut pas faire

 15 / 3  = 5  est différent de  3 / 15   = 1/5 


On ne peut pas inverser les termes d’une division
 
Les parenthèses, leur suppression et le calcul :

Il arrive (souvent) que vous vous trouviez en présence d’expressions contenant des parenthèses voire des crochets. Tant qu’il s’agit d’additions ou de multiplications cela ne vous ennuie guère mais dès lors que le fatidique signe « – » apparaît, un vent de panique vous submerge car à un moment où à un autre, il faut bien supprimer ces maudites parenthèses. A y regarder de plus près, cela ne doit pas être compliqué dans la mesure où l’on connaît et l’on applique les règles de suppression.

Important : un nombre qui n’a pas de signe est obligatoirement un nombre positif

1 – Si une parenthèse s’ouvre derrière un signe « + », on peut enlever cette parenthèse et ce signe « + » sans changer quoi que ce soit.

Exemples :

10 + (4 + 3) = 10 + 4 + 3 = 17
10 + (4 – 3) = 10 + 4 – 3 = 11
10 + (-4 + 3) = 10 – 4 + 3 = 9

2 – Si une parenthèse s’ouvre derrière une signe « -« , on peut enlever cette parenthèse et ce signe « – » à condition de changer tous les signes inclus dans cette parenthèse.
Exemples :

10 – (4+3) =   10 (-4) (-3) =  10 – 4 – 3 = 3
10 – (4 – 3) =  10 (-4) (+3)  = 10 – 4 + 3 =  9
10 – (-4 – 3) = 10 (+4) (+3) =  10 + 4  + 3 = 17

Méthode :

10 + (4 + 3) = 
La parenthèse s’ouvre derrière un signe +, la règle me dit que je peux supprimer les parenthèses sans changer quoi que ce soit à l’intérieur de la parenthèse. D’autre part je fais également disparaître le signe plus entre le 10 et la parenthèse. Il vient donc :

10  4 + 3 ——> un nombre sans signe est positif donc :
10 + 4 + 3 = 17


10 – (4+3) =

Cette fois la parenthèse s’ouvre derrière un signe « -« , la règle nous dit que nous devons supprimer ce signe moins entre la parenthèse et 10 et aussi changer tous les signes des nombres inclus dans la parenthèse, il vient :

10 -4 -3 = 3

Développement et factorisation d’expressions :

Ne vous laissez pas impressionner par les noms savants.
Avant toute chose, un rappel sur la notation utilisée :

Nous écrivions jusqu’à présent les multiplications avec le signe x. D’une part c’est contraignant, cela prend du temps, c’est fatiguant et pire que tout, cela peut être équivoque puisque le « x » symbolise souvent l’inconnu(e). Nous allons adopter une nouvelle convention (entre nous) qui va grandement simplifier les choses :

L’ancienne expression  :   2 x a ( deux fois la valeur a) va devenir 2a, simple non ?


Il arrive que l’on trouve des expressions un peu étranges comme :x (a + b)

On se demande toujours ce que l’on va bien pouvoir en faire. Eh bien, on peut la développer cette expression. Pour mémoire les lettres représentent des valeurs, si cette représentation vous pose problème, remplacez les lettres par des nombres comme par exemple 3 ( 2 +4).

Développons :

x (a + b) =  xa + xb

Nous avons réalisé ce prodige comme ceci :

Nous avons distribué « x » de part et d’autre de l’addition. Dans ce genre d’opération, il faut être méthodique et ne pas s’arrêter en chemin. Nous avons affaire ici à une opération simple, on peut trouver plus compliqué.
L’opération inverse qui consiste à réduire une expression s’appelle la factorisation (ou mettre en facteur).

 

Exercices pour voir si l’on a bien compris:

7 + (8+3) =  7 + 8 + 3 = 18
9 + (12 – 7) =  9 + 12 – 7 = 14
20 + (-8 + 7 ) =  20 – 8 + 7 = 19
8 + (-1 -3) =  8 -1 – 3 = 4
9 – (7+2) =  9 – 7 – 2 =0
6 – (-3 + 2 ) = 6 +3 -2 = 7
12 – (4 – 2 ) =  12 – 4 + 2 = 10
3 (2 + 5)=  3×2 +  3×5 = 21
2 ( -2 + 3)  -2×2 + 2×3  = -4 + 6 = 2
-3 (1 + 2 ) =  3-x1   + (-3 x2) = -3 + (-6) =-9
 Ce sont des choses naturellement que vous connaissez et que vous appliquez quotidiennement mais un rappel écrit ne fait jamais de mal. Passons aux fractions…

 

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